三角形中位线定理和逆定理证明过程

发布时间:2022-10-10分类:初三辅导

三角形中位线定理是三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触),并且等于第三边的一半。下面整理了三角形中位线定理和逆定理,供大家参考。

三角形中位线定理

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触),并且等于第三边的一半。

证明:已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2

过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)

∴△ADE≌△CGE (A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形对应边相等)

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

∴DG∥BC且DG=BC

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位线定理成立

逆定理

逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

证明:∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

∴AD=AB/2,AE=AC/2,即D是AB中点,E是AC中点。

逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线

证明:取AC中点E',连接DE',则有

AD=BD,AE'=CE'

∴DE'是三角形ABC的中位线

∴DE'∥BC

又∵DE∥BC

∴DE和DE'重合(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行)

∴E是中点,DE=BC/2

注意:在三角形内部,经过一边中点,且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。

相关文章