微分中值定理:微分中值定理证明题应用解析及习题

发布时间:2017-10-09分类:考研

微分中值定理是微分学应用的理论基础。是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理,可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。能熟练的应用中值定理确实是一件不易的事,尤其是辅助函数的引入,更是变化多样。下文给出微分中值定理在一些证明题中的巧用。

一、微分中值定理的主要应用

1. 证明等式;2. 证明恒等式;3. 证明不等式; 4. 讨论方程实根(或函数零点)的存在性。

二、掌握微分中值定理应用方法的关键

——在分析解题思路时,必须紧紧抓住定理函数区间三要素

定理” ——适用定理的选择

函数” ——辅助函数的构造

区间” ——讨论区间的确定。

三、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法

方法一:构造辅助函数,在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理,再将定理结论作某种运算。

方法二:构造两个辅助函数,在同一个区间上运用拉格朗日定理或柯西定理,再将定理结论作某种运算。

方法三:构造两个辅助函数,在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理,再将定理结论作某种运算。

微分中值定理证明试题范例

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: (1)存在η(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ξ(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1 第二问最后少打了等号,应该是f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1

(1)证明:由介值定理知,至少存在一点ζ(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2再由介值定理知,至少存在一点η(ζ,1),即存在η(1/2,1),使f(η)=η

(2) 证明:构造函数F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]F(x)在区间[0,1]上连续,(0,1)内可导F(η)=0, F(0)=0∴由罗尔定理知,必存在ξ(0,η), 使F'(ξ)=0-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1 

 

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